Matematyczne Łamigłówki Filmowe 2017 [video]

Odpowiedzi:

1. Bieżnia

Jonasz biegł z prędkością 150 metrów na minutę, czyli 0,15 km / (1/60) h = 9 km/h

Gdyby Kuba biegł z prędkością Jonasza w ciągu godziny pokonałby więc 9 kilometrów, czyli dystans krótszy o 3 km.

2. Urzędnik

Przyjmujemy, że wiek to liczba naturalna. Oznaczmy wiek dzieci jako: x, y, z

Możemy więc zapisać następujący układ równań:

x * y * z = 72

x + y + z = 14

Wypiszmy wszystkie dzielniki liczby 72:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Skreślmy dzielniki, które na pewno nie stanowią wieku dzieci, ponieważ samodzielnie są większe od 14:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12

A następnie wypiszmy wszystkie „trójki” tych podzielników, których suma da nam 14. Pamiętajmy o tym, że owa kobieta może posiadać także bliźniaki, dlatego dzielniki mogą się powtarzać (na pewno wiemy, że kobieta nie ma trojaczków, ponieważ 72 nie jest sześcianem żadnej liczby naturalnej, ani 14 nie dzieli się przez 3 bez reszty):

1, 1, 12

1, 4, 9

2, 3, 9

2, 4, 8

2, 6, 6

3, 3, 8

4, 4, 6

Policzmy iloczyny tych „trójek”:

1 * 1 * 12 = 12

1 * 4 * 9 = 36

2 * 3 * 9 = 54

2 * 4 * 8 = 64

2 * 6 * 6 = 72

3 * 3 * 8 = 72

4 * 4 * 6 = 96

Widzimy więc, że nasz układ równań rozwiązują „trójki”: 2, 6, 6 oraz 3, 3, 8. Z informacji podanej przez kobietę wiemy jednak, że jej najmłodsze dziecko śpi. Raczej by tak nie powiedziała, gdyby dwójka jej młodszych dzieci była bliźniakami, możemy więc przyjąć, że wiek jej dzieci to: 2, 6, 6.

3. Spadek

Najstarsza córka ma otrzymać 1/2 stada, druga 1/3 stada, natomiast najmłodsza 1/9 część stada. Zacznijmy od zsumowania części przypadających dla każdej z córek. Żeby to zrobić, sprowadzimy te ułamki do wspólnego mianownika. Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 2, 3 i 9 jest 18, tak więc:

1/2 = 9/18

1/3 = 6/18

1/9 = 2/18

Zsumujmy:

9/18 + 6/18 + 2/18 = 17/18

Tak więc ojciec niezupełnie rozdzielił swój majątek pomiędzy córki, ponieważ 1/18 nie została rozdzielona. Widzimy jednak, że skoro stado liczy 17 koni, będzie sprawiedliwie każdej z córek dać tyle koni ile 18-nastych części całości przydzielił im ojciec. Tak więc najstarsza otrzyma 9 koni, druga 6, a najmłodsza 2. Co więcej w przypadku takiego podziału każda otrzyma nieco więcej, niż zaplanował ojciec, ponieważ najstarsza otrzyma 9/17 (a to przecież więcej niż 9/18), druga 6/17 (a to więcej niż 6/18), a najmłodsza (2/17, a to więcej niż 2/18).

Co więc mógł doradzić mędrzec córkom? Mógł im powiedzieć: pożyczcie od kogoś jednego konia, podzielcie spadek, a następnie oddajcie pożyczonego konia. Ów pożyczony koń – to ta 1/18 nierozdzielona cześć spadku.

4. Ponton

Rozważmy dwie sytuacje:

1. Złotówka w jeziorze

Wrzucenie złotówki do jeziora wyprze z niego wodę o objętości złotówki.

2. Złotówka w pontonie

Wrzucenie złotówki do pontonu (pod warunkiem, że nie było jej w nim wcześniej) podniesie ciężar pontonu o ciężar złotówki, co sprawi, że ponton zanurzy się bardziej wypierając pewną objętość wody. Objętość wypartej wody będzie równa fragmentu objętości pontonu ważącej tyle, co złotówka. Ponieważ gęstość pontonu jest mniejsza niż gęstość złotówki, objętość ta będzie większa niż objętość samej złotówki.

Tak więc bardziej podniesie poziom wody wrzucenie złotówki do pontonu. Tak na marginesie obliczenia te lepiej zobrazować np. wrzucaniem kamienia do pontonu pływającego po basenie.

5. Ciastka

W tym zadaniu nieco brakuje nam danych, ale możemy przyjąć spójne z treścią zagadki założenie, że było tylko dwoje dzieci (20 s. filmiku widać tylko dwie pary rąk podkradające ciasteczka) i że po każdej dokładce, każde z nich zjadało tyle samo ciastek, co drugie (to jest sensowne założenie, bo zapewne „urwisy” podjadały ciastka razem i jeden pilnował drugiego, żeby nie wziął więcej niż on, zresztą widać to w 20-21 s. i 25 s. filmiku), tj.:

- po pierwszej dokładce: 3 ciastka (łącznie 6, bo z treści zagadki wiemy, że pozostała połowa),

- po drugiej dokładce: po 1 ciastku (łącznie 2).

Tak więc po każdej dokładce proporcje na talerzu wyglądały tak:

- po pierwszej dokładce: 8 ciastek „starych” i 4 „nowe”, z których zjedzono 3 „stare” i 3 „nowe” – bo wiemy, że jedno dziecko zjadało tylko „stare”, a drugie tylko „nowe”

- po drugiej dokładce:  5 ciastek „starych”, 1 „nowe” z poprzedniej dokładki i 6 „nowych” z obecnej dokładki – z tych dzieci zjadły po jednym „starym” i jednym „nowym” (nie ma znaczenia, z której dokładki)

Tak więc po ostatniej dokładce na talerzu zostały: 4 ciastka „stare” i 8 „nowych”. Prawdopodobieństwo wybrania ciastka „starego”, czyli tego, które leżało na talerzu od początku wynosi wiec 4/12, czyli 1/3.

6. Test

Wiemy, że:

- Oceny bardzo dobre i dobre to 2/9 ocen.

- Oceny dostateczne i dopuszczające to 75% pozostałych, czyli 7/9 x 75/100 = 525/900 = 7/12 ocen.

- Ocen niedostatecznych nie było.

- Ocen dostatecznych i dopuszczających było o 13 więcej niż ocen bardzo dobrych i dobrych.

Oznaczmy więc x jako liczbę uczniów i możemy zapisać układ równań:

7/12x = 2/9x + 13

21/36x – 8/36x = 13

13/36x = 13  || * 36/13

x = 36

Tak więc uczniów w klasie w dniu sprawdzianu było 36. 8 z nich otrzymało oceny bardzo dobre i dobre, a 21 oceny dostateczne i dopuszczające. Nie było jedynek, a więc 7 uczniów musiało otrzymać ocenę celującą lub w ogóle nie być ocenionymi.

7. Jajka

Rozważmy tę sytuację od końca. Każda klientka kupowała połowę wszystkich jajek i jeszcze pół. Tak więc do liczby pozostawionej przez ostatnią klientkę dodajmy 0,5 i podzielmy ją przez 0,5 (czyli pomnóżmy przez 2), a następnie powtórzmy tę czynność, aż do pierwszej klientki. Tym sposobem dowiemy się, ile jajek zastała każda klientka, kiedy podeszła do straganu:

7.: 1

6.: (1 + 0,5) x 2 = 3

5.: (3 + 0,5) x 2 = 7

4.: (7 + 0,5) x 2 = 15

3.: (15 + 0,5) x 2 = 31

2.: (31 + 0,5) x 2 = 63

1.: (63 + 0,5) x 2 = 127

I już wiemy w jaki sposób wydarzyła się ta nieprawdopodobna historia i że pani Kowalowa miała na początku 127 jajek.

8. Konewki

Najpierw nalewamy wodę do konewki 3-litrowej i przelewamy ja do konewki 5-litrowej. Następnie znów napełniamy konewkę 3-litrową i z niej przelewamy wodę do konewki 5-litrowej, gdzie zmieści się już tylko 2 l. Tak więc wiemy, że w konewce 3-litrowej pozostał nam 1 litr. Wodę z konewki 5-litrowej zużywamy do podlewania (nie marnujemy wody!), a następnie przelewamy do niej ten 1 litr z konewki 3-litrowej. Na końcu napełniamy konewkę 3-litrową i z niej przelewamy całość do konewki 5-litrowej, tym sposobem znajdą się tam 4 wody.

URYJ ODPOWIEDZI